1. Introducere
Istoria fractalilor nu este lungă. A început brusc, în 1975, cu lucrarea revoluţionară a matematicianului Benoit Mandelbrot, "O teorie a seriilor fractale", care mai târziu a devenit cartea sa manifest "Geometria fractală a naturii". Mandelbrot a inventat cuvântul "fractal" pentru a reuni munca multora dinaintea sa.
1.1. Primii fractali
Matematicieni ca Waclaw Sierpinski, David Hilbert, George Cantor şi Helge von Koch au creat primii fractali, în general ca exerciţii abstracte, neavînd nici o idee despre semnificaţia lor. Mulţi dintre ei considerau aceste forme patologice, dizgraţioase sau chiar dezgustătoare. Ce şocaţi ar fi acum să afle că sunt mai cunoscuţi tocmai prin acele forme care i-au îngrozit mai mult. Câţiva dintre aceşti pionieri aveau motive întemeiate pentru dezgustul lor, pentru aceste "aberaţii" geometrice. Ei au simţit că descoperiseră ceva ce sfida şi ameninţa câteva din convingerile cele mai preţioase. O evaluare ulterioară ne arată că perioada lor (aproximativ 1875-1925) era de fapt o perioadă de criză în matematică. Iar şi iar, matematicienii dădeau peste forme bizare care intrau în contradicţie cu viziunea lor despre spaţiu, suprafaţă, distanţă şi dimensiune.
1.2. Definiţia fractalilor
În 1982, Mandelbrot şi-a extins două eseuri anterioare, creînd lucrarea deschizătoare de drumuri "Geometria fractală a naturii". El a inventat cuvântul "fractal" (din latinescul "frangere" care înseamnă "a sparge în fragmente neregulate"), astfel încât inversele forme au putut fi unificate sub un singur nume. Pentru a fi clasificată oficial ca fractal, o formă trebuie să aibă dimensiunea Hausdorff-Besicovitch mai mare decât dimensiunea sa topologică tradiţională. Pe scurt, fractalii sunt toate acele ciudăţenii care umplu spaţiul şi pe care matematicienii le abandonaseră ca fiind dezarmant de complexe. Mandelbrot nota patetic: "deoarece cuvântul algebra derivă din cuvântul arab jabara (a lega împreună), între cuvintele fractal şi algebră este o contradicţie etimologică".
1.3. Geometria fractală
Benoit Mandelbrot şi-a întemeiat geometria fractală bazându-se în principal pe simularea sa încununată de succes a tendinţei preţurilor bunurilor de consum, iar analiza pieţii rămâne una din cele mai atrăgătoare aplicaţii ale geometriei fractale. Piatra Filosofică a oricărui analist al pieţii este, desigur, să precizeze comportarea preţurilor cu destulă exactitate pentru a se umple de bani
cât mai repede. Dacă cineva a pus mâna pe aceasta Piatră, probabil că îşi foloseşte câteva din miliardele sale pentru a-şi apăra secretul. În domeniul pieţii, ca şi în alte domenii în care fractalii şi haosul dau rezultatele, rareori se dovedesc atât de folositori pentru prezicere, pe cât sunt pentru simulare.
cât mai repede. Dacă cineva a pus mâna pe aceasta Piatră, probabil că îşi foloseşte câteva din miliardele sale pentru a-şi apăra secretul. În domeniul pieţii, ca şi în alte domenii în care fractalii şi haosul dau rezultatele, rareori se dovedesc atât de folositori pentru prezicere, pe cât sunt pentru simulare.1.4. Simularea fractală
Simularea fractală poate modela şi prezice natura general statistică a unui sistem, fără să-i prevadă comportarea specifică într-un anumit moment. De exemplu, simulările din 1953 ale lui Mandelbrot asupra preţului bumbacului continuau sa prezică cu exactitate cantitatea de variaţie din preţul bumbacului, atât lunară cât şi anuală. Totuşi, ele nici măcar nu pot pretinde cât ne indică preţul bumbacului în 2002.
2. Exemple de fractali
Prin anii 1980, grafica pe calculator a progresat într-atât încât forme ca "Linia de coastă Koch" şi "Covorul lui Sierpinski" puteau fi reprezentate cu detalii explicite. "Geometria fractală a naturii" era o galerie a acestora şi a altor forme geometrice, dintre care multe nu fuseseră văzute niciodată. Multe dintre ele erau simple automate celulare în care fiecare linie era transformată repetat în linii mai mici. După ce a lucrat o perioadă cu fractalii "naturali" auto-reflectivi, Mandelbrot a descoperit că procesele iterative similare pot produce construcţii matematice abstracte cum ar fi faimoasa "serie Mandelbrot" şi "seria Julia". Ca şi alţi fractali, aceste serii au fost descoperite cu mult înainte de Mandelbrot, dar erau atât de complexe încât necesitau calculatoare puternice pentru a le cerceta şi vizualiza.
Unul dintre primii şi cei mai faimoşi fractali matematici a fost inventat de un astronom. La începutul anilor 1960, Michel Hanon de la Observatorul din Nisa, în Franţa, a observat o comportare tulburătoare într-un simplu model al stelelor care orbitează într-o galaxie. Câteva dintre orbite erau line şi stabile, în timp ce altele păreau aproape aleatoare. La început, el şi colegii lui au ignorat pur şi simplu orbitele anormale presupunînd că ele apar datorită unor erori de calcul inexplicabile. În cele din urmă, Henon a descoperit că acest tip de comportare haotică era o parte esenţială a dinamicii orbitelor stelare.
2.1. Fractalii ca o artă
Chiar înainte ca fractalii să fie larg acceptaţi ca matematică adevărată, imaginile pe care ei le produceau au devenit foarte populare. Matematicienii artişti, cum ar fi Richard Voss, Greg Turk şi Alan Norton au perfecţionat procedurile de bază ale lui Mandelbrot pentru a creea peisaje uimitoare, atât realiste cât şi abstracte. Brusca revenire a matematicii ca artă a fost mult întârziată. Ştiinţa şi matematicile secolelor al XIX-lea şi al XX-lea pierduseră legătura cu vizualul şi intuitivul. Teoriile moderne, ca relativitatea şi mecanica cuantică, sunt frumoase şi elegante dar trebuie să fii un Albert Einstein sau Erwin Schrodiger pentru a le aprecia frumuseţea. Pe de altă parte, atât nespecialiştii cât şi matematicienii pot aprecia chiar şi cea mai abstractă imagine fractală.
2.2. Fractalii şi ştiinţa
În timp ce fractalii câştigau toate premiile la expoziţiile de grafică pe calculator, aproape toate disciplinele ştiinţifice descopereau frumoasele lor modele haotice. Fizicienii, trasînd grafic starea particulelor, găseau tulburătoare opere de artă apărînd pe imprimantele lor. Biologii şi psihologii diagnostichează "boli dinamice", care apar când ritmurile fractale devin desincronizate. Seismologii chiar au descoperit valuri fractale care străbat scoarţa terestră. Meteorologii, economiştii, chimiştii, hidrologii şi aproape toate ramurile inginereşti se întâlneau cu forme care erau mult mai frumoase decat previzibile.
În anii 1980, fractalii răsăreau din fiecare ecuaţie sau procedură binecunoscută, de la metoda lui Newton până la banala funcţie cosinus. La începutul anilor 1980, matematicianul Michel Barsley s-a alăturat rândurilor mereu crescînde de "fractalieri". Când era copil, Michel a fost fascinat în mod deosebit de anumite ferigi. Nu a putut stabili exact ce conferea ferigilor frumuseţea lor magică decât mulţi ani mai târziu. Observând modul în care fiecare frunză se aseamană cu întreagul, el a scris un program simplu pe calculator pentru a modela aceste caracteristici. Imaginea rezultată era mult mai reală decât s-a aşteptat şi a devenit în curând unul dintre cei mai faimoşi fractali in lume.
Barnsley a continuat să dezvolte o metoda nouă, unică, de desenare a fractalilor: "Jocul Haosului". Chiar şi mai important, în 1985, Barnsley şi John Elton au demonstrat că orice imagine din lume poate fi reprezentată cu ajutorul unei binecunoscute categorii de fractali. Acesta era un pas uriaş înainte pentru o comunitate intelectuală inundată de fractali, dar căreia îi lipsea un sistem inteligibil pentru reprezentarea lor. O tehnică creea mulţi fractali, alta pornea automate celulare şi o alta simula înregistrările grafice ale cutremurelor, iar o tehnică diferită era necesară pentru a realiza minunatele vârtejuri şi focalizări. Barnsley şi Elton au prevăzut metoda unică şi simplă de realizare a aproape tuturor imaginilor auto-reflective, incluzînd şi toate imaginile despre care nimeni nu se gândise că ar fi auto-reflective.
Energetica şi fractalii
Sinergetica încearcă în mod sistematic să găsească reguli din care să reiasă faptul că ordinea se stabileşte (răsare) în procesele complexe. Imaginile sunt părţi integrante ale acestei tradiţii care reflectă ordinea şi haosul în competiţia lor pentru a coexista. Imaginile arată tranziţia de la una la cealaltă şi cât de complexă este această zonă de tranziţie. Chiar dacă imaginile relevă frumuseţea acestor regiuni de tranziţie, totodată ele reprezintă o încercare de a răspunde la întrebarea centrală:
În regiunile de graniţă are loc trecerea de la o formă de existenţă la alta: de la ordine la dezordine, de la starea magnetică la starea non-magnetică sau cum pot fi interpretate entităţile care se întâlnesc la limită.
Imaginile reprezintă procese care sunt, desigur, idealizări simplificate ale realităţii. Principiul părţii asemănătoare cu întregul (principiul auto-asemănării) este cuprins şi realizat aproximativ în natură: în liniile de coastă, albiile fluviilor, formaţiunile noroase, copaci, în curgerea tumultuoasă a lichidelor şi în organizarea ierarhică a sistemelor vii. Benoit Mandelbrot a fost cel care "ne-a deschis ochii" pentru a observa geometria fractală a naturii. Procesele care produc astfel de structuri au fost situate mult timp în matematică şi fizică. Ele sunt simple "procese de feed-back" în care aceeaşi operaţie este efectuată în mod repetat, producţia unei repetiţii fiind modul de pornire al repetiţiei următoare.
Fractalii se află peste tot în jurul nostru, luând forma unui lanţ muntos sau se regăsesc în unduirea liniei de ţărm. Ca şi formaţiunile noroase şi focurile licărind, unii fractali suferă schimbări continue, în timp ce alţii, cum ar fi copacii sau sistemul vascular omenesc, reţin structura pe care au căpătat-o în evoluţia lor. Conceptul matematic de "fractal" caracterizează obiecte cu o diversă gamă de structură şi care astfel reflectă principiul ierarhic de organizare. Obiectele fractale nu îşi schimbă forma în mod semnificativ când sunt observate la microscop. În 1980, Mandelbrot a găsit un principiu ce organizează un întreg univers de structuri asemănătoare cu întregul într-o manieră neaşteptată.
3.2. Ştiinţa şi arta
Ştiinţa şi arta: două modalităţi complementare de exprimare a lumii naturale - una analitică, cealaltă intuitivă. Ne-am obişnuit să le vedem ca fiind poli opuşi şi totuşi:
- Depind Ştiinţa şi Arta una de cealaltă?
Gânditorul, încercînd să penetreze fenomenul natural cu înţelegerea sa, caută să reducă complexitatea la câteva legi fundamentale. Nu este tot el visătorul, aruncîndu-se în bogăţia de forme şi văzîndu-se ca parte integrantă a eternului joc al evenimentelor naturale? Ca şi când ele s-au simţit limitate într-un singur suflet, mintea artei şi mintea ştiinţei s-au despărţit: un Faust a devenit două jumătăţi - fiinţe dimesionale. Divergenţa pare ireversibilă şi ceea ce ambele laturi au promovat împreună în timpul iluminismului a devenit acum fără fundament ştiinţific.
Raţionalitatea rece a ştiinţei şi tehnologiei a pătruns şi transformat lumea în aşa fel încât ar putea distruge viaţa. Inspiraţia artei poate doar răspunde neputincios, cu amărăciune. Nu mai este suficient să descoperi legi de bază şi să înţelegi cum funcţionează lumea "în principiu". Devine din ce în ce mai importantă scoaterea în evidenţă a modelelor în care aceste principii se arată în realitate. Mai mult decât legi fundamentale operează în ceea ce este de fapt. Sunt luate decizii ale căror consecinţe nu pot fi prevăzute, deoarece fiecare decizie are caracterul unei amplificaţii. Cunoaşterea creşte din lupta pentru a afla elementele esenţiale şi a le prezenta într-o "coajă de nucă".
3.3. Concluzii deschise
Nimeni nu ştie cu siguranţă cum răsar spiralele şi ramurile din seriile Manderlbot şi Julia din simple ecuaţii neliniare şi nici de ce urmăresc ele atât de aproape modelele arhetipale ale naturii. Aceste teme sunt în prim-planul cercetării matematice şi ştiinţifice actuale. Când o serie de ecuaţii este lăsată în seama propriilor sale iteraţii întortocheate, matematica însăşi pare să găsească plăcere în poezia vizuală naturalistă. Încă din cele mai vechi timpuri, ordinea clară a matematicii a fost într-o poziţie făţişă faţă de haosul care nu ţine cont de nici o regulă a naturii. Totuşi, matematicienii au fost întotdeaua încântaţi de natură şi au încercat să imite modelele naturale. În prezent, profunda şi deseori misterioasa legătură dintre aceste două domenii pare să devină brusc mai strânsă.
Oamenii de ştiinţă sunt prinşi în mijlocul acestei interacţiuni dintre raţiune şi observaţie. De aici, ei au obţinut noi instrumente puternice pentru a modela aproape toate fenomenele naturale. De asemenea, ei trebuie să facă faţă provocării stârnite de asimilarea unei noi viziuni asupra Universului şi căderea în desuetudine a multor tipare de gândire îngrădite.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu